При изучении обыкновенных дробей, сталкиваемся с понятиями основного свойства дроби. Формулировка упрощенного вида необходима для решения примеров с обыкновенными дробями. Данная статья предполагает рассматривание алгебраических дробей и применение к ним основного свойства, которое будет сформулировано с приведением примеров области его применения.
Основное свойство дроби имеет формулировку вида:
Определение 1
При одновременном умножении или делении числителя и знаменателя на одно и то же число, значение дроби остается неизменным.
То есть, получаем, что a · m b · m = a b и a: m b: m = a b равнозначны, где a b = a · m b · m и a b = a: m b: m считаются справедливыми. Значения a , b , m являются некоторыми натуральными числами.
Деление числителя и знаменателя на число можно изобразить в виде a · m b · m = a b . Это аналогично решению примера 8 12 = 8: 4 12: 4 = 2 3 . При делении используется равенство вида a: m b: m = a b , тогда 8 12 = 2 · 4 2 · 4 = 2 3 . Его же можно представить в виде a · m b · m = a b , то есть 8 12 = 2 · 4 3 · 4 = 2 3 .
То есть, основное свойство дроби a · m b · m = a b и a b = a · m b · m будем рассматривать подробно в отличие от a: m b: m = a b и a b = a: m b: m .
Если в числителе и знаменателе имеются действительные числа, тогда свойство применимо. Предварительно следует доказать справедливость записанного неравенства для всех чисел. То есть, доказать существование a · m b · m = a b для всех действительных a , b , m , где b и m являются отличными от нуля значениями во избежание деления на ноль.
Доказательство 1
Пусть дробь вида a b считается частью записи z , иначе говоря, a b = z , тогда необходимо доказать, что a · m b · m отвечает z , то есть доказать a · m b · m = z . Тогда это позволит доказать существование равенства a · m b · m = a b .
Черта дроби означает знак деления. Применив связь с умножением и делением, получим, что из a b = z после преобразования получаем a = b · z . По свойствам числовых неравенств следует произвести умножение обеих частей неравенства на число, отличное от нуля. Тогда произведем умножение на число m, получаем, что a · m = (b · z) · m . По свойству имеем право записать выражение в виде a · m = (b · m) · z . Значит, из определения следует, что a b = z . Вот и все доказательство выражения a · m b · m = a b .
Равенства вида a · m b · m = a b и a b = a · m b · m имеют смысл, когда вместо a , b , m будут многочлены, причем вместо b и m – ненулевые.
Основное свойство алгебраической дроби: когда одновременно умножить числитель и знаменатель на одно и то же число, получим тождественно равное исходному выражение.
Свойство считается справедливым, так как действия с многочленами соответствуют действиям с числами.
Пример 1
Рассмотрим на примере дроби 3 · x x 2 - x y + 4 · y 3 . Возможно преобразование к виду 3 · x · (x 2 + 2 · x · y) (x 2 - x y + 4 · y 3) · (x 2 + 2 · x · y).
Было произведено умножение на многочлен x 2 + 2 · x · y . Таким же образом основное свойство помогает избавиться от x 2 , имеющегося в заданной по условию дроби вида 5 · x 2 · (x + 1) x 2 · (x 3 + 3) к виду 5 · x + 5 x 3 + 3 . Это называется упрощением.
Основное свойство можно записать в виде выражений a · m b · m = a b и a b = a · m b · m , когда a , b , m являются многочленами или обычными переменными, причем b и m должны являться ненулевыми.
Применение основного свойства актуально для приведения к новому знаменателю или при сокращении дроби.
Определение 2
Приведение к общему знаменателю – это умножение числителя и знаменателя на аналогичный многочлен для получения нового. Полученная дробь равна исходной.
То есть дробь вида x + y · x 2 + 1 (x + 1) · x 2 + 1 при умножении на x 2 + 1 и приведении к общему знаменателю (x + 1) · (x 2 + 1) получит вид x 3 + x + x 2 · y + y x 3 + x + x 2 + 1 .
После проведения действий с многочленами получаем, что алгебраическая дробь преобразуется в x 3 + x + x 2 · y + y x 3 + x + x 2 + 1 .
Приведение к общему знаменателю выполняется также при сложении или вычитании дробей. Если даны дробные коэффициенты, то предварительно необходимо произвести упрощение, что позволит упростить вид и само нахождение общего знаменателя. Например, 2 5 · x · y - 2 x + 1 2 = 10 · 2 5 · x · y - 2 10 · x + 1 2 = 4 · x · y - 20 10 · x + 5 .
Применение свойства при сокращении дробей выполняется в 2 этапа: разложение числителя и знаменателя на множители для поиска общего m , после чего осуществить переход к виду дроби a b , основываясь на равенстве вида a · m b · m = a b .
Если дробь вида 4 · x 3 - x · y 16 · x 4 - y 2 после разложения преобразуется на x · (4 · x 2 - y) 4 · x 2 - y · 4 · x 2 + y , очевидно, что общим множителем будет многочлен 4 · x 2 − y . Тогда возможно будет произвести сокращение дроби по основному его свойству. Получим, что
x · (4 · x 2 - y) 4 · x 2 - y · 4 · x 2 + y = x 4 · x 2 + y . Дробь упрощается, тогда при подстановке значений необходимо будет выполнять намного меньше действий, чем при подстановке в исходную.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Подробно разобрано основное свойство дроби , дана его формулировка, приведено доказательство и поясняющий пример. Также рассмотрено применение основного свойства дроби при сокращении дробей и приведении дробей к новому знаменателю.
Навигация по странице.
Давайте рассмотрим пример, иллюстрирующий основное свойство дроби. Пусть у нас есть квадрат, разделенный на 9 «больших» квадратов, а каждый из этих «больших» квадратов разделен на 4 «маленьких» квадрата. Таким образом, можно также говорить, что исходный квадрат разделен на 4·9=36 «маленьких» квадратов. Закрасим 5 «больших» квадратов. При этом закрашенными окажутся 4·5=20 «маленьких» квадратов. Приведем рисунок, отвечающий нашему примеру.
Закрашенная часть составляет 5/9 исходного квадрата, или, что то же самое, 20/36 исходного квадрата, то есть, дроби 5/9 и 20/36 равны: или . Из этих равенств, а также из равенств 20=5·4 , 36=9·4 , 20:4=5 и 36:4=9 следует, что и .
Для закрепления разобранного материала рассмотрим решение примера.
Пример.
Числитель и знаменатель некоторой обыкновенной дроби умножили на 62 , после чего числитель и знаменатель полученной дроби разделили на 2 . Равна ли полученная дробь исходной?
Решение.
Умножение числителя и знаменателя дроби на любое натуральное число, в частности на 62 , дает дробь, которая в силу основного свойства дроби, равна исходной. Основное свойство дроби позволяет утверждать и то, что после деления числителя и знаменателя полученной дроби на 2 получится дробь, которая будет равна исходной дроби.
Ответ:
Да, полученная дробь равна исходной.
Основное свойство дроби в основном применяется в двух случаях: во-первых, при приведении дробей к новому знаменателю, и, во-вторых, при сокращении дробей.
Основное свойство дроби позволяет проводить сокращение дробей , и в результате переходить от исходной дроби к равной ей дроби, но с меньшим числителем и знаменателем. Сокращение дроби заключается в делении числителя и знаменателя исходной дроби на любой отличный от единицы положительный числителя и знаменателя (если таких общих делителей нет, то исходная дробь несократима, то есть, не подлежит сокращению). В частности, деление на приведет исходную дробь к несократимому виду.
Список литературы.
Copyright by cleverstudents
Все права защищены.
Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта , включая внутренние материалы и внешнее оформление, нельзя воспроизводить в какой-либо форме или использовать без предварительного письменного разрешения правообладателя.
Дробь — форма представления числа в математике. Дробная черта обозначает операцию деления. Числителем дроби называется делимое, а знаменателем — делитель. Например, в дроби числителем является число 5, а знаменателем — 7.
Правильной называется дробь, у которой модуль числителя больше модуля знаменателя. Если дробь является правильной, то модуль её значения всегда меньше 1. Все остальные дроби являются неправильными .
Дробь называют смешанной , если она записана как целое число и дробь. Это то же самое, что и сумма этого числа и дроби:
Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число, то значение дроби не изменится, то есть, например,
Чтобы привести две дроби к общему знаменателю, нужно:
Сложение. Чтобы сложить две дроби, нужно
Пример:
Вычитание. Чтобы вычесть одну дробь из другой, нужно
Пример:
Умножение. Чтобы умножить одну дробь на другую, следует перемножить их числители и знаменатели.
Говоря о математике, нельзя не вспомнить дроби. Их изучению уделяют немало внимания и времени. Вспомните, сколько примеров вам приходилось решать, чтобы усвоить те или иные правила работы с дробями, как вы запоминали и применяли основное свойство дроби. Сколько нервов было потрачено для нахождения общего знаменателя, особенно если в примерах было больше двух слагаемых!
Давайте же вспомним, что это такое, и немного освежим в памяти основные сведения и правила работы с дробями.
Начнем, пожалуй, с самого главного - определения. Дробь - это число, которое состоит из одной или более частей единицы. Дробное число записывается в виде двух чисел, разделенных горизонтальной либо же косой чертой. При этом верхнее (или первое) называется числителем, а нижнее (второе) - знаменателем.
Стоит отметить, что знаменатель показывает, на сколько частей разделена единица, а числитель - количество взятых долей или частей. Зачастую дроби, если они правильные, меньше единицы.
Теперь давайте рассмотрим свойства данных чисел и основные правила, которые используются при работе с ними. Но прежде чем мы будем разбирать такое понятие, как "основное свойство рациональной дроби", поговорим о видах дробей и их особенностях.
Можно выделить несколько видов таких чисел. В первую очередь это обыкновенные и десятичные. Первые представляют собой уже указанный нами вид записи с помощью горизонтальной либо косой черты. Второй вид дробей обозначается с помощью так называемой позиционной записи, когда сначала идет указание целой части числа, а затем, после запятой, указывается дробная часть.
Тут стоит отметить, что в математике одинаково используются как десятичные, так и обыкновенные дроби. Основное свойство дроби при этом действительно только для второго варианта. Кроме того, в обыкновенных дробях выделяют правильные и неправильные числа. У первых числитель всегда меньше знаменателя. Отметим также, что такая дробь меньше единицы. В неправильной дроби наоборот - числитель больше знаменателя, а сама она больше единицы. При этом из нее можно выделить целое число. В данной статье мы рассмотрим только обыкновенные дроби.
Любое явление, химическое, физическое или математическое, имеет свои характеристики и свойства. Не стали исключением и дробные числа. Они имеют одну немаловажную особенность, с помощью которой над ними можно проводить те или иные операции. Каково основное свойство дроби? Правило гласит, что если ее числитель и знаменатель умножить либо же разделить на одно и то же рациональное число, мы получим новую дробь, величина которой будет равна величине исходной. То есть, умножив две части дробного числа 3/6 на 2, мы получим новую дробь 6/12, при этом они будут равны.
Исходя из этого свойства, можно сокращать дроби, а также подбирать общие знаменатели для той или иной пары чисел.
Несмотря на то что дроби кажутся нам более сложными, по сравнению с с ними также можно выполнять основные математические операции, такие как сложение и вычитание, умножение и деление. Кроме того, есть и такое специфическое действие, как сокращение дробей. Естественно, каждое из этих действий совершается согласно определенным правилам. Знание этих законов облегчает работу с дробями, делает ее более легкой и интересной. Именно поэтому дальше мы с вами рассмотрим основные правила и алгоритм действий при работе с такими числами.
Но прежде чем говорить о таких математических операциях, как сложение и вычитание, разберем такую операцию, как приведение к общему знаменателю. Вот тут нам как раз таки и пригодится знание того, какое основное свойство дроби существует.
Для того чтобы число привести к общему знаменателю, сначала понадобится найти наименьшее общее кратное для двух знаменателей. То есть наименьшее число, которое одновременно делится на оба знаменателя без остатка. Наиболее простой способ подобрать НОК (наименьшее общее кратное) - выписать в строчку для одного знаменателя, затем для второго и найти среди них совпадающее число. В том случае, если НОК не найдено, то есть у данных чисел нет общего кратного числа, следует перемножить их, а полученное значение считать за НОК.
Итак, мы нашли НОК, теперь следует найти дополнительный множитель. Для этого нужно поочередно разделить НОК на знаменатели дробей и записать над каждой из них полученное число. Далее следует умножить числитель и знаменатель на полученный дополнительный множитель и записать результаты в виде новой дроби. Если вы сомневаетесь в том, что полученное вами число равняется прежнему, вспомните основное свойство дроби.
Теперь перейдем непосредственно к математическим операциям над дробными числами. Начнем с самой простой. Есть несколько вариантов сложения дробей. В первом случае оба числа имеют одинаковый знаменатель. В таком случае остается лишь сложить числители между собой. Но знаменатель не меняется. Например, 1/5 + 3/5 = 4/5.
В случае если у дробей разные знаменатели, следует привести их к общему и лишь затем выполнять сложение. Как это сделать, мы с вами разобрали чуть выше. В данной ситуации вам как раз и пригодится основное свойство дроби. Правило позволит привести числа к общему знаменателю. При этом значение никоим образом не изменится.
Как вариант, может случиться, что дробь является смешанной. Тогда следует сначала сложить между собой целые части, а затем уже дробные.
Не требует никаких хитростей, и для того чтобы выполнить данное действие, необязательно знать основное свойство дроби. Достаточно сначала перемножить между собой числители и знаменатели. При этом произведение числителей станет новым числителем, а знаменателей - новым знаменателем. Как видите, ничего сложного.
Единственное, что от вас требуется, - знание таблицы умножения, а также внимательность. Кроме того, после получения результата следует обязательно проверить, можно ли сократить данное число или нет. О том, как сокращать дроби, мы расскажем немного позже.
Выполняя следует руководствоваться теми же правилами, что и при сложении. Так, в числах с одинаковым знаменателем достаточно от числителя уменьшаемого отнять числитель вычитаемого. В том случае, если у дробей разные знаменатели, следует привести их к общему и затем выполнить данную операцию. Как и в аналогичном случае со сложением, вам понадобится использовать основное свойство алгебраической дроби, а также навыки в нахождении НОК и общих делителей для дробей.
И последняя, наиболее интересная операция при работе с такими числами - деление. Она довольно простая и не вызывает особых трудностей даже у тех, кто плохо разбирается, как работать с дробями, в особенности выполнять операции сложения и вычитания. При делении действует такое правило, как умножение на обратную дробь. Основное свойство дроби, как и в случае с умножением, задействовано для данной операции не будет. Разберем подробнее.
При делении чисел делимое остается без изменений. Дробь-делитель превращается в обратную, то есть числитель со знаменателем меняются местами. После этого числа перемножаются между собой.
Итак, мы с вами уже разобрали определение и структуру дробей, их виды, правила операций над данными числами, выяснили основное свойство алгебраической дроби. Теперь поговорим о такой операции, как сокращение. Сокращением дроби называется процесс ее преобразования - деление числителя и знаменателя на одно и то же число. Таким образом, дробь сокращается, не меняя при этом своих свойств.
Обычно при совершении математической операции следует внимательно посмотреть на полученный в итоге результат и выяснить, возможно ли сократить полученную дробь или же нет. Помните, что в итоговый результат всегда записывается не требующее сокращения дробное число.
Напоследок отметим, что мы перечислили далеко не все операции над дробными числами, упомянув лишь самые известные и необходимые. Дроби также можно сравнять, преобразовать в десятичные и наоборот. Но в данной статье мы не стали рассматривать данные операции, так как в математике они осуществляются намного реже, чем те, что были приведены нами выше.
Мы с вами поговорили о дробных числах и операциях с ними. Разобрали также основное свойство Но заметим, что все эти вопросы были рассмотрены нами вскользь. Мы привели лишь наиболее известные и употребляемые правила, дали наиболее важные, на наш взгляд, советы.
Данная статья призвана скорее освежить забытые вами сведения о дробях, нежели дать новую информацию и "забить" голову бесконечными правилами и формулами, которые, вероятнее всего, вам так и не пригодятся.
Надеемся, что материал, представленный в статье просто и лаконично, стал для вас полезным.
Долей единицы и представляется в виде \frac{a}{b} .
Числитель дроби (a) — число, находящееся над чертой дроби и показывающее количество долей, на которые была поделена единица.
Знаменатель дроби (b) — число, находящееся под чертой дроби и показывающее на сколько долей поделили единицу.
Скрыть Показать
Если ad=bc , то две дроби \frac{a}{b} и \frac{c}{d} считаются равными. К примеру, равными будут дроби \frac35 и \frac{9}{15} , так как 3 \cdot 15 = 15 \cdot 9 , \frac{12}{7} и \frac{24}{14} , так как 12 \cdot 14 = 7 \cdot 24 .
Из определения равенства дробей следует, что равными будут дроби \frac{a}{b} и \frac{am}{bm} , так как a(bm)=b(am) — наглядный пример применения сочетательного и переместительного свойств умножения натуральных чисел в действии.
Значит \frac{a}{b} = \frac{am}{bm} — так выглядит основное свойство дроби .
Другими словами, мы получим дробь, равную данной, умножив или разделив числитель и знаменатель исходной дроби на одно и то же натуральное число.
Сокращение дроби — это процесс замены дроби, при котором новая дробь получается равной исходной, но с меньшим числителем и знаменателем.
Сокращать дроби принято, опираясь на основное свойство дроби.
Например, \frac{45}{60}=\frac{15}{20} (числитель и знаменатель делится на число 3 ); полученную дробь снова можно сократить, разделив на 5 , то есть \frac{15}{20}=\frac 34 .
Несократимая дробь — это дробь вида \frac 34 , где числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами. Основная цель сокращения дроби — сделать дробь несократимой.
Возьмем в качестве примера две дроби: \frac{2}{3} и \frac{5}{8} с разными знаменателями 3 и 8 . Для того, чтобы привести данные дроби к общему знаменателю и сначала перемножим числитель и знаменатель дроби \frac{2}{3} на 8 . Получаем следующий результат: \frac{2 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{16}{24} . Затем умножаем числитель и знаменатель дроби \frac{5}{8} на 3 . Получаем в итоге: \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{15}{24} . Итак, исходные дроби приведены к общему знаменателю 24 .
а) При одинаковых знаменателях числитель первой дроби складывают с числителем второй дроби, оставляя знаменатель прежним. Как видно на примере:
\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b} ;
б) При разных знаменателях дроби сначала приводят к общему знаменателю, а затем выполняют сложение числителей по правилу а) :
\frac{7}{3}+\frac{1}{4}=\frac{7 \cdot 4}{3}+\frac{1 \cdot 3}{4}=\frac{28}{12}+\frac{3}{12}=\frac{31}{12} .
а) При одинаковых знаменателях из числителя первой дроби вычитают числитель второй дроби, оставляя знаменатель прежним:
\frac{a}{b}-\frac{c}{b}=\frac{a-c}{b} ;
б) Если же знаменатели дробей различны, то сначала дроби приводят к общему знаменателю, а затем повторяют действия как в пункте а) .
Умножение дробей подчиняется следующему правилу:
\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{a \cdot c}{b \cdot d} ,
то есть перемножают отдельно числители и знаменатели.
Например:
\frac{3}{5} \cdot \frac{4}{8} = \frac{3 \cdot 4}{5 \cdot 8}=\frac{12}{40} .
Деление дробей производят следующим способом:
\frac{a}{b} : \frac{c}{d}= \frac{ad}{bc} ,
то есть дробь \frac{a}{b} умножается на дробь \frac{d}{c} .
Пример: \frac{7}{2} : \frac{1}{8}=\frac{7}{2} \cdot \frac{8}{1}=\frac{7 \cdot 8}{2 \cdot 1}=\frac{56}{2} .
Если ab=1 , то число b является обратным числом для числа a .
Пример: для числа 9 обратным является \frac{1}{9} , так как 9 \cdot \frac{1}{9}=1 , для числа 5 — \frac{1}{5} , так как 5 \cdot \frac{1}{5}=1 .
Десятичной дробью называется правильная дробь, знаменатель которой равен 10, 1000, 10\,000, ..., 10^n .
Например: \frac{6}{10}=0,6;\enspace \frac{44}{1000}=0,044 .
Таким же способом пишутся неправильные со знаменателем 10^n или смешанные числа.
Например: 5\frac{1}{10}=5,1;\enspace \frac{763}{100}=7\frac{63}{100}=7,63 .
В виде десятичной дроби представляется любая обыкновенная дробь со знаменателем, который является делителем некой степени числа 10 .
Пример: 5 — делитель числа 100 , поэтому дробь \frac{1}{5}=\frac{1 \cdot 20}{5 \cdot 20}=\frac{20}{100}=0,2 .
Для сложения двух десятичных дробей, нужно их расположить так, чтобы друг под другом оказались одинаковые разряды и запятая под запятой, а затем выполнить сложение дробей как обычных чисел.
Выполняется аналогично сложению.
При умножении десятичных чисел достаточно перемножить заданные числа, не обращая внимания на запятые (как натуральные числа), а в полученном ответе запятой справа отделяется столько цифр, сколько их стоит после запятой в обоих множителях суммарно.
Давайте выполним умножение 2,7 на 1,3 . Имеем 27 \cdot 13=351 . Отделяем справа две цифры запятой (у первого и второго числа — одна цифра после запятой; 1+1=2 ). В итоге получаем 2,7 \cdot 1,3=3,51 .
Если в полученном результате получается меньше цифр, чем надо отделить запятой, то впереди пишут недостающие нули, например:
Для умножения на 10 , 100 , 1000 , надо в десятичной дроби перенести запятую на 1 , 2 , 3 цифры вправо (в случае необходимости справа приписывается определенное число нулей).
Например: 1,47 \cdot 10\,000 = 14 700 .
Деление десятичной дроби на натуральное число производят также, как и деление натурального числа на натуральное. Запятая в частном ставится после того, как закончено деление целой части.
Если целая часть делимого меньше делителя, то в ответе получается нуль целых, например:
.png)
Рассмотрим деление десятичной дроби на десятичную. Пусть нужно разделить 2,576 на 1,12 . Первым делом, умножим делимое и делитель дроби на 100 , то есть перенесем запятую вправо в делимом и делителе на столько знаков, сколько их стоит в делителе после запятой (в данном примере на две). Затем нужно выполнить деление дроби 257,6 на натуральное число 112 , то есть задача сводится к уже рассмотренному случаю:
.png)
Бывает так, что не всегда получается конечная десятичная дробь при делении одного числа на другое. В результате получается бесконечная десятичная дробь. В таких случаях переходят к обыкновенным дробям.
2,8: 0,09= \frac{28}{10} : \frac {9}{100}= \frac{28 \cdot 100}{10 \cdot 9}=\frac{280}{9}=31 \frac{1}{9} .
