Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")
Что такое проценты в математике ? Как решать задачи на проценты ? Эти вопросы всплывают, увы, внезапно… Когда выпускник читает задание ЕГЭ. И ставят его в тупик. А зря. Это очень простые понятия.
Единственно, что нужно запомнить железно – что такое один процент . Это понятие - и есть главный ключ к решению задач на проценты, да и к работе с процентами вообще.
Один процент – это одна сотая часть какого-то числа . И всё. Нет больше никаких мудростей.
Резонный вопрос – а сотая часть какого числа ? А вот того числа, о котором идёт речь в задании. Если там говорится о цене, один процент – это одна сотая часть цены. Если о скорости, один процент – это одна сотая часть скорости. И так далее. Понятно, что само число, о котором идёт речь, составляет всегда 100%. А если нет самого числа, то и проценты смысла не имеют…
Другое дело, что в сложных задачах само число так запрячут, что и не найдёшь. Но мы на сложное пока не замахиваемся. Разбираемся с процентами в математике .
Я не зря акцентирую слова один процент, одна сотая . Запомнив, что такое один процент , вы легко найдёте и два процента, и тридцать четыре, и семнадцать, и сто двадцать шесть! Сколько надо, столько и найдёте.
А это, между прочим, основное умение для решения задач на проценты.
Попробуем?
Давайте найдём 3% от 400. Сначала найдём один процент . Это будет одна сотая, т.е. 400/100 = 4. Один процент – это 4. А нам сколько процентов надо? Три. Вот и умножаем 4 на три. Получим 12. Всё. Три процента от 400 – это 12.
5% от 20 это будет 20 поделить на 100 (одна сотая – 1%), и умножить на пять (5%):
5% от 20 это будет 1. Всё.
Проще некуда. Давайте-ка быстро, пока не забылось, потренируемся!
Найдите, сколько будет:
5% от 200 рублей.
8% от 350 километров.
120% от 10 литров.
15% от 60 градусов.
4% отличников от 25 учащихся.
10% двоечников из 20 человек.
Ответы (в полном беспорядке): 9, 10, 2, 1, 28, 12.
Эти числа – количество рублей, градусов, учеников и т.д. Я не написал, сколько чего, чтобы решать интересней было…
А если нам нужно записать х% от какого-то числа, например, от 50? Да всё то же самое. Один процент от 50 – это сколько? Правильно, 50/100 = 0,5. А у нас этих процентов – х . Ну и умножим 0,5 на х ! Получим, что х% от 50 это – 0,5х.
Надеюсь, что такое проценты в математике вы уяснили. И легко сможете найти любое количество процентов от любого числа. Это просто. Вам сейчас по силам примерно 60% от всех задач на проценты! Уже больше половины. Ну что, добиваем оставшееся? Ладно, как скажете!
В задачах на проценты частенько встречаются обратная ситуация. Нам дают величины (какие угодно), а надо найти проценты . Освоим и этот нехитрый процесс.
3 человека из 120 – это сколько процентов? Не знаете? Ну, тогда, пусть это будет х процентов.
Вычислим х% от 120 человек. В человеках. Это мы умеем. 120 делим на 100 (вычисляем 1%) и умножаем на х (вычисляем х% ). Получаем 1,2х .
Осмыслим результат.
х процентов от 120 человек, это 1,2х человек . А таких человек у нас три. Остаётся приравнять:
Вспоминаем, что за икс мы брали количество процентов. Значит 3 человека от 120 человек – это 2,5%.
Вот и всё.
Можно и по-другому. Обойтись простой смекалкой, безо всяких уравнений. Соображаем, во сколько раз 3 человека меньше 120? Делим 120 на 3 и получаем 40. Значит, 3 меньше 120 в 40 раз.
Искомое количество людей в процентах будет во столько же раз меньше 100%. Ведь 120 человек – это и есть 100%. Делим 100 на 40, 100/40 = 2,5
Вот и всё. Получили 2,5%.
Есть ещё способ пропорций, но это, в сущности, то же самое в сокращенном варианте. Все эти способы – правильные. Как вам удобнее, привычнее, понятнее – так и считайте.
Опять тренируемся.
Посчитайте, сколько процентов составляют:
3 человека из 12.
10 рублей от 800.
4 учебника из 160 книг.
24 правильных ответа на 32 вопроса.
2 угаданных ответа на 32 вопроса.
9 попаданий из 10 выстрелов.
Ответы (в беспорядке): 75%, 25%, 90%, 1,25%, 2,5%, 6,25%.
В процессе вычислений вы вполне можете столкнуться с дробями. В том числе и неудобными, типа 1,333333… А кто вам велел калькулятором пользоваться? Сами? Не надо. Считайте без калькулятора , как написано в теме «Дроби». Проценты всякие бывают…
Вот мы и освоили переход от величин к процентам и обратно. Можно браться за задачки.
В ЕГЭ задачи на проценты очень популярны. От самых простых до сложных. В этом разделе мы работаем с простыми задачами. В простых задачах, как правило, нужно перейти от процентов к тем величинам, о которых идёт речь в задаче. К рублям, килограммам, секундам, метрам, и так далее. Или наоборот. Это мы уже умеем. После этого задача становится понятной и легко решается. Не верите? Смотрите сами.
Пусть у нас есть такая задачка.
«Проезд на автобусе стоит 14 рублей. В дни школьных каникул для учащихся ввели скидку 25%. Сколько стоит проезд на автобусе в дни школьных каникул?»
Как решать? Если мы узнаем, сколько 25% в рублях – то и решать-то нечего. Отнимем скидку от исходной цены – и все дела!
Но мы уже умеем это узнавать! Сколько будет один процент от 14 рублей? Одна сотая часть. То есть 14/100 = 0,14 рубля. А таких процентов у нас 25. Вот и умножим 0,14 рубля на 25. Получим 3,5 рублей. Вот и всё. Величину скидки в рублях мы установили, остаётся узнать новую стоимость проезда:
14 – 3,5 = 10,5.
Десять с половиной рублей. Это ответ.
Как только от процентов перешли к рублям, всё стало просто и понятно. Это общий подход к решению задач на проценты.
Понятное дело, не все задачи одинаково элементарны. Есть и посложнее. Подумаешь! Мы и их сейчас порешаем. Сложность в том, что всё наоборот. Нам даны какие-то величины, а найти надо проценты. Например, такая задача:
«Раньше Вася решал правильно две задачи на проценты из двадцати. После изучения темы на одном полезном сайте, Вася стал решать правильно 16 задач из 20. На сколько процентов поумнел Вася? За стопроцентный ум считаем 20 решённых задач.»
Раз вопрос про проценты (а не рубли, килограммы, секунды и т.д.), то и переходим к процентам. Узнаем, сколько процентов Вася решал до поумнения, сколько процентов после – и дело в шляпе!
Считаем. Две задачки из 20 – это сколько процентов? 2 меньше 20 в 10 раз, правильно? Значит, количество задачек в процентах будет в 10 раз меньше, чем 100%. То есть 100/10 = 10.
10%. Да, немного решал Вася… На ЕГЭ делать нечего. Но вот он поумнел, и решает 16 задач из 20. Считаем, сколько это будет процентов? Во сколько раз 16 меньше 20? Навскидку и не скажешь… Придётся делить.
В 5/4 раза. Ну а теперь делим 100 на 5/4:
Вот. 80% это уже солидно. А главное – не предел!
Но это ещё не ответ! Читаем задачу снова, чтобы не ошибиться на ровном месте. Да, нас спрашивают, на сколько процентов поумнел Вася? Ну, это просто. 80% - 10% = 70%. На 70%.
70% - это правильный ответ.
Как видите, в простых задачках достаточно перевести заданные величины в проценты, или заданные проценты – в величины, как всё и проясняется. Ясное дело, что в задачке вполне могут быть и дополнительные навороты. Которые, часто, к процентам отношения и не имеют вовсе. Тут, главное, внимательно условие читать и по шагам, не спеша, разворачивать задачку. Об этом мы в следующей теме поговорим.
Но есть в задачах на проценты одна серьёзная засада! Многие в неё попадают, да… Выглядит эта засада вполне невинно. Например, вот такая задачка.
«Красивая тетрадка летом стоила 40 рублей. Перед началом учебного года, продавец поднял цену на 25%. Однако, тетрадки стали покупать так плохо, что он снизил цену на 10%. Всё равно не берут! Пришлось ему снизить цену ещё на 15%. Вот тут торговля пошла! Какова была окончательная цена тетрадки?»
Ну, как? Элементарно?
Если вы стремительно и радостно дали ответ «40 рублей!», то вы попали в засаду…
Фокус в том, что проценты всегда считаются от чего-то .
Вот и считаем. На сколько рублей продавец взвинтил цену? 25% от 40 рублей - это 10 рублей. То есть, подорожавшая тетрадка стала стоить 50 рублей. Это понятно, да?
А теперь нам надо сбросить цену на 10% от 50 рублей. От 50, а не 40! 10% от 50 рублей – это 5 рублей. Следовательно, после первого удешевления тетрадь стала стоить 45 рублей.
Считаем второе удешевление. 15% от 45 рублей (от 45, а не 40, или 50! ) – это 6,75 рубля. Стало быть, окончательная цена тетрадки:
45 – 6,75 = 38,25 рубля.
Как видите, засада заключается в том, что проценты считаются каждый раз от новой цены. От последней. Так бывает практически всегда. Если в задаче на последовательное повышение-понижение величины открытым текстом не сказано, от чего считать проценты, надо считать их от последнего значения. И то, правда. Продавец откуда знает, сколько раз эта тетрадка дорожала-дешевела до него и сколько она стоила в самом начале…
Кстати, теперь вы можете подумать, зачем в задачке про умного Васю написана последняя фраза? Вот эта: «За стопроцентный ум считаем 20 решённых задач»? Вроде и так всё ясно… Э-э-э… Как сказать. Если этой фразы не будет, Вася вполне может посчитать за 100% свои начальные успехи. То есть две решённые задачки. А 16 задач – в восемь раз больше. Т.е. 800% ! Вася сможет вполне оправданно говорить о собственном поумнении аж на 700%!
А ещё можно и 16 задач взять за 100%. И получить новый ответ. Тоже правильный…
Отсюда вывод: самое главное в задачах на проценты – чётко определить, от чего надо считать тот или иной процент.
Это, кстати, и в жизни надо. Там, где проценты используются. В магазинах, банках, на акциях всяких. А то ждёшь 70% скидки, а получаешь 7%. И не скидки, а удорожания… И всё честно, сам просчитался.
Ну вот, представление о процентах в математике вы получили. Отметим самое важное.
1. В задачах на проценты – переходим от процентов к конкретным величинам. Или, если надо – от конкретных величин к процентам. Внимательно читаем задачу !
2. Очень тщательно изучаем, от чего нужно считать проценты. Если об этом не сказано прямым текстом, то обязательно подразумевается. При последовательном изменении величины, проценты подразумеваются от последнего значения. Внимательно читаем задачу!
3. Закончив решать задачу, читаем её ещё раз. Вполне возможно, вы нашли промежуточный ответ, а не окончательный. Внимательно читаем задачу!
Решите несколько задач на проценты. Для закрепления, так сказать. В этих задачках я постарался собрать все главные трудности, которые поджидают решающих. Те грабли, на которые чаще всего наступают. Вот они:
1. Элементарная логика при анализе простых задачек.
2. Правильный выбор величины, от которой нужно считать проценты. Сколько народу споткнулось на этом! А ведь есть оч-ч-чень простое правило...
3. Проценты от процентов. Мелочь, а смущает здорово...
4. И ещё одни вилы. Связь процентов с дробями и частями. Перевод их друг в друга.
«В олимпиаде по математике принимали участие 50 человек. 68% учеников решили мало задач. 75% оставшихся решили средне, а остальные – много задач. Сколько человек решило много задач?»
Подсказка. Если у вас получаются дробные ученики – это неправильно. Читайте внимательно задачу, есть там одно важное слово… Ещё задачка:
«Вася (да-да, тот самый!) очень любит пончики с повидлом. Которые пекут в булочной, через одну остановку от дома. Стоят пончики по 15 рублей за штуку. Имея в наличии 43 рубля, Вася поехал в булочную на автобусе за 13 рублей. А в булочной шла акция «Скидка на всё – 30%!!!». Вопрос: сколько дополнительных пончиков не смог купить Вася из-за своей лени (мог бы и пешком прогуляться, правда?)»
Короткие задачки.
На сколько процентов 4 меньше 5?
На сколько процентов 5 больше 4?
Длинная задача...
Коля устраивался на несложную работу, связанную с расчётом процентов. При собеседовании начальник с хитрой улыбкой предложил Коле два варианта оплаты труда. По первому варианту Коле сразу назначалась ставка 15000 руб в месяц. По второму Коле, если он согласится, первые 2 месяца будут выплачивать пониженную на 50% зарплату. Типа, как новичку. Зато потом увеличат его пониженную зарплату аж на 80%!
Коля посещал один полезный сайт в Интернете... Поэтому, подумав шесть секунд, с лёгкой улыбкой выбрал первый вариант. Начальник улыбнулся в ответ и установил Коле постоянную зарплату в 17000 руб.
Вопрос: Сколько денег в расчёте за год (в тысячах рублей) Коля выиграл на этом собеседовании? Если сравнивать с самым неудачным вариантом? И ещё: что они всё время улыбались-то!?)
Опять короткая задачка.
Найти 20% от 50%.
И снова длинная.)
Скорый поезд №205 "Красноярск - Анапа" сделал остановку на станции "Сызрань-город". Василий и Кирилл пошли в привокзальный магазинчик за мороженым для Лены и гамбургером для себя. Когда они купили всё необходимое, уборщица магазина сообщила, что их поезд уже поехал... Василий и Кирилл быстро-быстро побежали и успели заскочить в вагон. Вопрос: успел бы в этих условиях заскочить в вагон чемпион мира по бегу?
Считаем, что в обычных условиях чемпион мира бежит на 30% быстрее Василия и Кирилла. Однако, стремление догнать вагон (он был последний), угостить Лену мороженым и съесть гамбургер, увеличило их скорость на 20%. А мороженое с гамбургером в руках чемпиона и шлёпанцы на ногах уменьшили бы его скорость на 10%...
А вот задачка без процентов... Интересно, зачем она здесь?)
Определить, сколько весит 3/4 яблока, если всё яблоко весит 200 граммов?
И последняя.
В скором поезде №205 "Красноярск - Анапа" попутчики разгадывали сканворд. Лена отгадала 2/5 всех слов, а Василий отгадал одну треть оставшихся. Затем подключился Кирилл и разгадал 30% всего сканворда! Серёжа отгадал последние 5 слов. Сколько всего слов было в сканворде? Верно ли, что Лена отгадала больше всех слов?
Ответы в традиционном беспорядке и без наименований единиц. Где пончики, где ученики, где рубли с процентами – это вы уж сами…
10; 50; да; 4; 20; нет; 54; 2; 25; 150.
Ну и как? Если всё сошлось - поздравляю! Проценты - не ваша проблема. Можно смело идти работать в банк.)
Что-то не так? Не получается? Не умеете быстро считать проценты от числа? Не знаете очень простых и понятных правил? От чего считать проценты, например? Или, как перевести дроби в проценты?
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
Процентом называют вид десятичной дроби. Суть процента можно понять из названия, которое произошло от слова «cento», что в переводе означает «сто». Отсюда следует, что процент – это сотая доля от целого числа, принимаемая за единицу. Для обозначения процентов в математике и других областях науки используется знак %.Нужно ли это обычному человеку?
Конечно, чаще всего, иметь дело с процентами приходится людям, деятельность которых связана с наукой. Не редко это счастье достается ученикам в рамках школьной программы математики. Однако, сфера применения процентов настолько широка, что с необходимостью их вычисления сталкиваются представители самых разных профессий и занятий. Аудитория нашего сайта – не исключение. Ведь перед дачниками часто стоит задача определения концентрации раствора удобрений, расчета налога на землю или другое имущество, определения размеров выплаты по кредиту и т.д.
Во всех этих случаях без умения правильно обращаться с процентами не обойтись. А они товарищи капризные, ошибок не любят. Поэтому, несмотря на кажущуюся простоту задач с процентами, при их решении необходимо соблюдать ряд определенных правил.
Основной прием
Все задачи, в которых фигурируют проценты, довольно просто решаются при использовании принципа пропорции. В чем заключается его суть? Например, нужно определить, чему равняется 76 % от числа 840? Для этого составляется соответствующая пропорция. В ней 840 приравнивается к 100 %. Искомая величина х – 76 %. Это позволяет составить следующее соотношение:
840 / х = 100 % / 76 % или 840 * 76 % = х * 100 %
Отсюда получается, что:
х = 840*76 % / 100 % = 638,4
Как видите, все предельно просто.
Основные типы задач с процентами
С точки зрения математики можно выделить 3 категории задач, решение которых связано с вычислением процентов.
Первый тип
Это когда необходимо найти процент от конкретного числа, заданного в условиях. Адаптируя пример к обстоятельствам жизни дачников можно привести следующую задачу. Предположим, что по законам какого-либо региона владелец частного земельного участка должен ежегодно выплачивать налог на землю. Размер его определяется как 2 % от кадастровой стоимости земли. Цена участка при этом 327 тыс. руб. Каков размер ежегодного налога? Чтобы ответить на поставленный вопрос, составляется пропорция:
327 тыс. руб. = 100 %;
Х тыс. руб. = 2 %.
Приводя эту зависимость к уравнению, получаем: х * 100 = 327 * 2. В результате: х = 327*2/100 = 6,54 тыс. руб.
Другой пример подобного рода задач связан с вопросом, который волнует подавляющее большинство дачников – прибавки к пенсиям или заработной плате. Предположим, сейчас пенсия человека составляет 7 200 руб., но со следующего месяца ее обещают увеличить на 15 %. Сколько это будет непосредственно в рублях? Опять составляется пропорция:
Второй тип
В данном случае предстоит решить обратную задачу, то есть по имеющемуся проценту вычислить число. Например, известно, что 10 кг некоего вещества входят в состав удобрения, при этом представляя собой 40 % от общего его количества. Нужно определить общую массу готового удобрения. Для этого также составляется пропорция, но вид она будет иметь немного другой:
10 кг – 40 %
х кг – 100%
Отсюда следует, что х = 10 * 100 / 40 = 25 кг.
Третий тип
К этой категории относятся задачи, в которых нужно через одно число определить процентное соотношение другого. К примеру, объем утреннего полива моркови должен составлять – 60 л. Вечером же на грядки нужно вылить 150 л. Сколько процентов от вечернего полива составляет утренний? Основное соотношение выглядит следующим образом:
150 л – 100 %;
60 л чашка – х %
Тогда: х = 60*100/ 150 = 40 %
Для тех дачников, которые рассматривают свой приусадебный участок, как источник дохода, должна быть интересной технология расчета рентабельности. Этот показатель используется в экономике как мера успешности предприятия и также рассчитывается в процентах. Именно по уровню рентабельности судят о том, насколько рационально организован производственный процесс.
Итак, основу расчета составляют две величины:
* полная себестоимость, включающая все денежные расходы, в том числе транспортные, а также покупку инвентаря и т.д.;
* доход, полученный от реализации собранного урожая.
Их разность представляет собой чистую прибыль. Пр = Д – С. При этом формула рентабельности имеет вид: Р = Пр/С*100 %. Таким образом, если общая себестоимость продукции составляет 8 200 руб., а продана она была за 9 000 руб., рентабельность будет равна: Р = (9 000 – 8 200)/8 200 *100 % = 9,75 %. Обычно, приемлемым уровнем рентабельности в экономике предприятия считается 5 %. При меньших показателях руководству рекомендуют искать варианты более рациональной организации труда.
В любом случае знать как решать задачи по алгебре с процентами нужно ещё в школе, а тогда дальше это не составит для вас труда.
Петр, www.сайт
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Актуальность исследования
Современная жизнь делает задачи на проценты актуальными, так как сфера практического приложения процентных расчетов расширяется. Вопросы инфляции, повышение цен, рост стоимости акций, снижение покупательской способности касаются каждого человека в нашем обществе. Планирование семейного бюджета, выгодного вложения денег в банки, невозможны без умения производить несложные процентные вычисления.
Без понятия «процент» нельзя обойтись ни в бухгалтерском учёте, ни в финансовом анализе, ни в статистике.
Проценты - математическое понятие, которое часто встречается в повседневной жизни.Любой человек должен уметь решать задачи, предлагаемые самой жизнью. Мы платим налоги. Как посчитать материальное вознаграждение, которое получаем мы, когда кладем деньги на депозит, какое вознаграждение получает банк, когда мы берем кредит, ипотеку. Все эти и многие другие вопросы, касающиеся процентных исчислений, решает знание процентови умение решать задачи на проценты.
Везде - в газетах, по радио, телевидению и на работе обсуждаются повышение цен, зарплат, пенсии, рост стоимости акций, снижение покупательской способности населения. Так, мы часто слышим или читаем, что, например, цены повысились на 20%, молоко содержит 4% жира, пенсия повысилась на 10%, в выборах приняли участие 76 % избирателей.
Чтобы начислить зарплату работнику, нужно знать процент налоговых отчислений; чтобы открыть депозитный счёт в сбербанке, нужно знать размеры процентных начислений на сумму вклада; чтобы знать приблизительный рост цен в будущем году, мы интересуемся процентом инфляции.
Решение математических задач практического содержания позволяет убедиться в значении математики для различных сфер человеческой деятельности, увидеть широту возможных приложений математики, понять её роль в современной жизни.
Мои наблюдения и проведённый опрос среди одноклассников и друзей показали, что мы, школьники, молодые люди, имеем самые общие и довольно небольшие знания о процентах, а о различных способах исчисления процентов и того меньше.
Выявленные недостатки в наших знаниях и умениях решать задачи на проценты объясняются наличием объективно складывающихся противоречий : между существующей потребностью вычислять процентное содержание в различных областях жизни людей и - не информированностью по этому вопросу и почти полным неумением это быстро и легко сделать.
С учётом выявленных противоречий была сформулирована проблема исследования: каковы история и способы решения задач на проценты?
Актуальность проблемы, её значимость в современном мире определили тему моего исследования : «Решение задач на проценты».
Цель исследования : изучить сведения о процентах, о типах задач, о способах их решения и научиться использовать полученные знания на практике.
Объект исследования : Проценты в прошлом и в настоящее время.
Предмет исследования : исторические сведения о процентах, решение задач на проценты и процентное содержание, концентрацию, смеси и сплавы с преимущественным использованием основных правил действия с десятичными и обыкновенными дробями.
В соответствие с целью исследования были поставлены следующие задачи исследования :
Изучить историю понятия ПРОЦЕНТ.
Рассмотреть использование процента в повседневной жизни.
Рассмотреть различные типы задач и их решения.
Устранить пробелы в знаниях по решению основных задач на проценты: нахождение процента от величины,нахождение величиныпо её проценту,нахождение процента одной величины от другой.
Обобщить полученные знания и умения и сформулировать выводы.
Вработе использовались следующие методы исследования : изучение литературы по теме, анализ, синтез, обобщение.
Глава 1. Актуальность процентов от древности до наших дней 1.1.История развития «процента»
Изучение информации в сети интернет показало, что слово «процент» происходит от латинского слова “procentum”, что означает «со ста». Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях родилась ещё в древности у вавилонян.В их клинописных табличках уже содержались задачи на расчёт процентов. Были известны проценты и в Индии, где с давних пор вёлся счёт в десятичной системе счисления. Индийские математики вычисляли проценты, применяя так называемое тройное правило, т.е. пользуясь пропорцией.Они умели производить и более сложные вычисления с применением процентов.
В русском языке слово «процент» имеет и другое смысловое значение − выражает тот факт, что заёмщик помимо возврата предоставленных ему кредитором денежных средств должен дополнительно заплатить кредитору за использование этих средств. Об этом говорит, например, объявление: «Банк предоставляет населению кредиты под проценты».
Денежные расчеты с процентами были особенно распростране-ны в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, кото-рые платил должник заимодавцу за каждую сотню. Даже римский сенат вынужден был установить максимально допустимый про-цент, взимаемый с должника, так как некоторые заимодавцы усердствовали в получении процентных денег. От римлян процен-ты перешли к другим народам.
В средние века в Европе в связи с широким развитием торговли особенно много внимания обращали на умение вычислять процен-ты. В то время приходилось рассчитывать не только проценты, но и проценты с процентов, т. е. сложные проценты, как называют их в наше время. Отдельные конторы и предприятия для облегчения труда при вычислениях процентов разрабатывали свои особые таб-лицы, которые составляли коммерческий секрет фирмы.
В Европе десятичные дроби появились на 1000 лет позже, их ввел бельгийский ученый СимонСтевин. В 1584г. он впервые опубликовал таблицу процентов.Введение процентов было удобным для определения содержания одного вещества в другом; в процентах стали измерять количественное изменение производства товара, рост и спад цен, рост денежного дохода и т.д.
Знак «%» происходит, как полагают, от итальянского слова cento(сто), которое в процентных расчётах часто писалось сокращённо cto. Отсюда путём дальнейшего упрощения буквы t в наклонную черту произошёл современный символ для обозначения процента.
Другая версия происхождения этого знака заключается в том, что в Париже в 1685 году наборщик книги-руководства по коммерческой арифметике допустил опечатку - вместо ctoнаписал %.
Долгое время под процентами понимались исключительно при-быль илиубыток на каждые 100 рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках.Уже в далекой древности широко было распространено ростовщичество - выдача денег под проценты. Разность между той суммой, которую возвращали ростовщику, и той, которую первоначально взяли у него, называлась лихвой. Так, в Древнем Вавилоне она составляла 20 % и более! Известно, что в XIV-XV вв. в Западной Европе широко распространились банки - учреждения, которые давали деньги в долг князьям, купцам, ремесленниками и т. д. Конечно, банки давали деньги не бескорыстно: за пользование предоставленными деньгами они брали плату, как и ростовщики древности. Эта плата выражалась обычно в виде процентов к величине выданных в долг денег. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике.
Ныне процент - это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за еди-ницу). Процентами очень удобно пользоваться на практике, так как они выражают части целых в одних и тех же долях. Это дает возможность упрощать расчеты и легко сравнивать части между собой и с целым.
Процент - сотая доля числа, принимаемого за целое. Если речь идет о проценте от данного числа, то это число и принимается за 100 %.
Например, 1 % от зарплаты - это сотая часть зарплаты; 100 % зарплаты - это сто сотых частей зарплаты, т. е. вся зарплата. Сотая часть метра - это сантиметр, сотая часть центнера- это килограмм.1% - одна сотая доля числа.
Как известно из практики, с помощью процентов часто показы-вают изменение той или иной конкретной величины. Такая форма является наглядной числовой характеристикой изменения, характе-ризующей значимость произошедшего изменения. Величина, выраженная в процентах, является более наглядной, понятной, ее легко сравнить с другими значениями.
1.2.«Проценты» в повседневной жизни
Мы считаем, что в настоящее время актуально более углубленное изучение темы «Проценты» в разных ситуациях. Причина такой необходимости - это значимость, т. к. задания по данной теме часто встречаются на различных экзаменах, а также применяются не только на уроках математики, химии, экономики. Проценты прочно входят и в нашу повседневную жизнь: кредиты, банковские проценты, составы химических веществ.
Для полного исследования применения процентов в нашей жизни я провела опрос среди моих одноклассников, где они встречали это понятие. Результаты опроса удивили даже самих ребят. Совместно мы вспомнили так много сфер применения процента вот перечень приведённых примеров:
Проценты применяются:
При расчёте скидок в магазине, составлении договора в банке, определении остроты зрения, соотношения ниток в составе ткани, определении жирности в продуктах, определении загрузки программ в компьютере или зарядки элементов питания, значение соотношения голосов на выборах или при голосовании, при распределении прибыли фирмы, подсчёте выполнения тестов ЕГЭ, расчёт налогов от з/платы, при сборе урожая и определении его потерь от стихии, соотношение воды в организме человека, или воды и суши на Земле, в соотношении примесей и золота в украшениях, поступивших в ВУЗы от общего чиста поступающих, информация для автомобилиста об остатке бензина в баке, при рейтинге участников хит-парада, определении порога эпидемии.
Из вышесказанного видно, что проценты применяются в следующих областях: торговле, программировании, экономике, технологии производства, статистике, медицине, общественной жизни, бытовой жизни, разных областях науки, искусстве.
Проценты являются неотъемлемой частью банковских, торговых, налоговых, фармацевтических и т. д. операций. Они вошли в нашу жизнь не только с выпечкой кулинарных изделий и с приготовлением лакомств, они буквально атакуют нас в пору рыночных отношений в экономике, в пору банкротств, инфляций, кризисов.
Вкладчик сбережений в банке учится жить на проценты, грамотно размещая деньги в прибыльное дело. Правильно воспользоваться ипотечным кредитом в банке также помогут проценты. Грамотно проводить процентные расчеты - это значит иметь выгоду в банковских сделках, иметь рентабельный бизнес и коммерческие предложения.
Таким образом, проценты - это одно из математических понятий, которые очень часто встречаются в повседневной жизни.
После опроса стало окончательно ясно, что без умения понимать такого рода информацию в современном обществе, просто трудно было бы существовать. Поэтому возникает необходимость выявить и изучить все существующие задачи на проценты и способы их решения, что мы и раскроем в следующем параграфе.
Глава 2.Виды задач на проценты и способы их решения 2.1. Виды задач на проценты
2.1.1. Нахождение процентов от числа
Чтобы найти процент от числа, следует:
Проценты записать десятичной дробью.
Число умножить на эту десятичную дробь.
Задача: В магазин привезли 14 т капусты, 70% всей капусты продали. Сколько тонн капусты осталось?
Оставшаяся часть капусты составляет: 100% - 70% = 30% = 0,3
Ответ: 4,2 тонны.
Нахождение числа по его процентам
Чтобы найти число по его процентам, следует:
Проценты записать десятичной дробью;
Число разделить на эту десятичную дробь.
Задача: Тракторная бригада вспахала за день 25% всего поля, что составляет 60 га. Какова площадь всего поля?
25% = 0,25;
60: 0.25 = 240
Ответ: 240 га.
Нахождение процентного отношения чисел
Чтобы узнать, сколько процентов одно число составляет от второго, следует:
Первое число разделить на второе.
Результат умножить на 100%.
Задача: Длина прямоугольника 40 дм, площадь 200 дм 2 . Сколько процентов составляет ширина от длины?
ширинаравна 200: 40 = 5
5:40 ·100% = 12,5%
Ответ: 12,5%
Увеличение на р%
Чтобы увеличить положительное число а на р%, следует:
умножить числоа на коэффициент увеличения к = (1+0,01р)
Задача: Цена на яблоки выросла на 30%. Какова цена яблок после повышения, если первоначальная цена 250 рублей?
к = 1 + 0,01 ·30 = 1,3
250 · 1,3 = 325
Ответ: 325 рубля.
Уменьшение на р%
Чтобы уменьшить положительное число а на р%, следует:
умножить числоа на коэффициент уменьшенияк = (1- 0,01·р)
Задача: Цена на путевку в санаторий снизилась на 10%. Сколько стоит путевка, если ее первоначальная цена 12 рублей?
к = 1 - 0,01·10 = 0,9;
12 · 0,9 = 10,8
Ответ: 10,8 рубля.
2.2.Решение задач на проценты составлением пропорции
При решении задач на проценты некоторая величина b принимается за 100%, а ее часть - величинаa - принимается заx % и составляется пропорция:
Из пропорции по двум известным величинам определяют неизвестную третьювеличину, пользуясь основным свойством пропорции: b·x =100·a
Задача 1 . В театральной студии занимаются 36 девушек. Сколько всего учащихся занимаются в данной студии, если юноши составляют 52%?
Девушки составляют 100% - 52% = 48% всех учащихся.
Девушки: 36 чел. - 48%
Всего учащихся: х чел. - 100%
Составляем пропорцию:
Ответ: 75 учащихся.
Задача 2 . Зарплату токарю повысили сначала на 10%, а затем через год еще на 20%. На сколько процентов повысилась зарплата токаря по сравнению с первоначальной?
а - первоначальная зарплата
1 после повышения на 10% - 1,1 а
через год после повышения на 20% - 1,1а · 1,2 = 1,32а
Составим пропорцию:
132% - 100% = 32%
Ответ: на 32%.
2.3.Решение задач на проценты алгебраическим методом
Задача 1 . Одна сторона прямоугольника на 42% больше другой. Площадь прямоугольника 568 см 2 . Найти наименьшую из сторон.
Пусть х - одна сторона прямоугольника, тогда вторая сторона будет 1,42х .
Составим уравнение и решим его:
х · 1,42 х = 568
1,42х 2 = 568
х 2 = 400
х 1 = 20 и х 2 = - 20 - не подходит
Ответ: 20 см.
Задача 2. Турист прошел в первый день 40% маршрута, во второй день 45% оставшегося пути, после чего ему осталось пройти на 6 км больше, чем он прошел во второй день. Весь маршрут составляет
х (км) - весь маршрут
0,4 х (км) - турист прошел в первый день пути
0,45(х - 0,4х) = 0,27х (км)- турист прошел во второй день пути
х - (0,4х + 0,27х) = 0,33х (км) - осталось пройти туристу
Т.к. туристу осталось пройти на 6 км больше, чем он прошел во второй день, составим уравнение и решим его:
0,33х - 0,27х = 6
0,06х = 6
х = 100
Ответ: 100 км.
2.4.Решение задач на концентрацию и процентное содержание
Для решения задач из этого раздела введем основные понятия:
Пусть даны два различных вещества А и В с массами m А и m В. Масса смеси, составленной из этих веществ, равна М = m А + m В.
Массовая концентрация вещества А в смеси (доля чистого вещества в смеси) С А = = .
Массовые концентрации связаны равенством: С А + С В =1
Процентное содержание вещества А в данной смеси вычисляется по формуле: Р А = С А · 100%
Задача 1. Имеется 50г раствора, содержащего 8% соли. Надо получить 5% -й раствор. Чему равна масса пресной воды, которую необходимо добавить к первоначальному раствору?
Пусть требуется добавить х кг пресной воды. За чистое вещество принимаем соль. Решение оформим таблицей.
Составим уравнение: 0,08 · 50 = (50 + х) · 0,05
50 + х = 80
Ответ: 30 кг.
Задача 2. В растворе содержится 15% соли. Если добавить 150г соли, то в растворе будет содержаться 45% соли. Найти массу соли в первоначальном растворе.
Пусть масса раствора -х г. Решение оформим таблицей.
Составим и решим уравнение: 0,15х + 150 = (х + 150) · 0,45
0,3х = 82,5
х = 275
Найдем массу чистого вещества в первоначальном растворе: 275 · 0,15 = 41,25.
Ответ: 41,25г.
Нами рассмотрено 8 видов задач на проценты. Как показывает анализ, в экзаменационных работах по ОГЭ включены задачи на проценты, некоторые из них представлены в приложении.
Заключение
В заключение хочется сказать, проценты - это одна из сложнейших тем математики, и очень многие учащиеся затрудняются или вообще не умеют решать задачи на проценты. А понимание процентов и умение производить процентные расчёты, необходимы для каждого человека, так как с процентами мы сталкиваемся в повседневной жизни постоянно. Поэтому считаю, что моя работа найдет практическое применение на уроках алгебры, как пример решения задач разных видов с практическим содержанием. Поможет выпускникам вспомнить основные способы решения задач на проценты.
Список литературы
Глейзер Г.И. История математики в школе (4-6 кл.): пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1981.-240с.
Крамор, В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа.- М.: Просвещение 1990.-416с.
Новик, И А.Задачи по математике: 4-8-е кл. Кн. для учащихся / И. А. Новик, Н. К. Пещенко, Н. В. Бровка. - Минск:Нар.асвета, 1984. - 96 с.
«Энциклопедический словарь юного математика»
Интернет-ресурсы
Www. math-on-line.Com
Www. edu.yar.ru/russian/pedba
Www. nk/sor_uch/math/Kalmyk/
Www. procent.html
Задачи на проценты в вариантах ОГЭ по математике
Городской бюджет составляет 45 млн. р., а расходы на одну из его статей составили 12,5%. Сколько рублей потрачено на эту статью бюджета?
Переведем 45млн в рубли=45000000, так как 45 млн весь бюджет следовательно - 100%, так как на статью было затрачено 12,5% от общего бюджета, обозначим через х это кол-во в рублях, составим пропорцию
45000000-100%
х-12,5%
х=45000000·12,5:100=5625000 (руб)
Ответ: 5625000(руб)
Перед представлением в цирк для продажи было заготовлено некоторое количество шариков. Перед началом представления было продано всех воздушных шариков, а в антракте - еще 12 штук. После этого осталась половина всех шариков. Сколько шариков было первоначально?
Пусть осталось шариков х .
Все шарики 2х
Продали перед представлением: 2х· =2х·0,4=0,8х
Продали в антракте 12 штук
составим уравнение
2х-0,8х-12=х
2х-0,8х-х=12
0,2х=12
х=12:0,2
х= 60 шариков осталось
60·2=120 шариков было
Ответ:120 шариков
Сберегательный банк начисляет на срочный вклад 20% годовых. Вкладчик положил на счет 800 р. Какая сумма будет на этом счете через год, если никаких операций со счетом проводиться не будет?
Через год вклад-чик по-лу-чит 20 % до-хо-да, что со-ста-вит
800 ·0,2=160 р.
Таким об-ра-зом, через год на счете будет:
800+160=960 р.
Ответ: 960р.
Товар на распродаже уценили на 20%, при этом он стал стоить 680 р. Сколько стоил товар до распродажи?Решение:100-20=80 % новая цена со-став-ля-ет 80 % от ста-рой цены.Cоставим пропорцию
680 рублей - 80 %x рублей - 100 %
680·100:80= 850 рублей стоил товар до распродажи
Ответ: 850 рублей.
Государству принадлежит 60% акций предприятия, остальные акции принадлежат частным лицам. Общая прибыль предприятия после уплаты налогов за год составила 40 млн. р. Какая сумма из этой прибыли должна пойти на выплату частным акционерам?
Ре-ше-ние:
Один про-цент от 40 млн. равен: 40 000 000:100 = 400 000 руб.
На вы-пла-ту част-ным ак-ци-о-не-рам пошло: 400 000· 40= 16000000руб.
Ответ: 16000000.
Акции предприятия распределены между государством и частными лицами в отношении 3:5. Общая прибыль предприятия после уплаты налогов за год составила 32 млн. р. Какая сумма из этой прибыли должна пойти на выплату частным акционерам?
Ре-ше-ние:
Пусть x млн. руб-лей при-хо-дит-ся на одну часть акции, тогда 5x при-хо-дит-ся част-ным ак-ци-о-не-рам, а 3x — го-су-дар-ству. Зная, что вся при-быль со-ста-ви-ла 32 млн. руб-лей, со-ста-вим урав-не-ние:
3x+5x=32
x=4 млн. руб.
Таким об-ра-зом, част-ным ак-ци-о-не-рам при-хо-дит-ся в пять раз боль-ше или 20 млн. руб.
Ответ: 20 000 000.
Число хвойных деревьев в парке относится к числу лиственных как 1:4. Сколько процентов деревьев в парке составляют лиственные?
Ре-ше-ние:
Всего де-ре-вьев пять ча-стей, из них лист-вен-ных — че-ты-ре части, это со-став-ля-ет 4: 5 = 0,8 или 80 %.
Средний вес мальчиков того же возраста, что и Сергей, равен 48 кг. Вес Сергея составляет 120% среднего веса. Сколько весит Сергей?
Ре-ше-ние:
Най-дем вес Сер-гея: 48· 120:100=57,6 кг.
Ответ: 57,6 кг.
В начале года число абонентов телефонной компании «Север» составляло 200 тыс. чел., а в конце года их стало 210 тыс. чел. На сколько процентов увеличилось за год число абонентов этой компании?
Решение:Обозначим за 100% число абонентов в 200 тыс.чел. ,а за х -210 тыс. чел. абонентов.Составим пропорцию:
200 тыс.чел. - 100%210 тыс.чел. - х%
х=210·100/200=105 (%)
105%-100%=5% (на столько процентов увеличилось количество абонентов)Ответ: 5%
Тест по математике содержит 30 заданий, из которых 18 заданий по алгебре, остальные - по геометрии. В каком отношении содержатся в тесте алгебраические и геометрические задания?
Ре-ше-ние:
Ко-ли-че-ство за-да-ний по гео-мет-рии равно: 30-18=12 шт. Таким об-ра-зом, ал-геб-ра-и-че-ские и гео-мет-ри-че-ские за-да-чи на-хо-дят-ся в от-но-ше-нии: 18: 12 = 3: 2.
Ответ: 3: 2
На счет в банке, доход по которому составляет 15% годовых, внесли 24 тыс. р. Сколько тысяч рублей будет на этом счете через год, если никаких операций со счетом проводиться не будет?
Ре-ше-ние:
Най-дем, сколь-ко про-цен-тов будет через год: 100%+15%=115%. Таким об-ра-зом, через год в банке будет: 2400· 115:100=27600 руб.
Ответ: 27600 руб.
Какая сумма (в рублях) будет проставлена в кассовом чеке, если стоимость товара 520 р., и покупатель оплачивает его по дисконтной карте с 5%-ной скидкой?
Ре-ше-ние:
Рас-счи-та-ем скид-ку, ко-то-рую по-лу-ча-ет по-ку-па-тель, опла-чи-вая товар по дис-конт-ной карте с 5%-ной скид-кой: 520· 5:100=26 руб. Таким об-ра-зом, ито-го-вая цена со скид-кой равна: 520 - 26 = 494 руб.
Ответ: 494.
В понедельник некоторый товар поступил в продажу по цене 1000 р. В соответствии с принятыми в магазине правилами цена товара в течение недели остается неизменной, а в первый день каждой следующей недели снижается на 20% от предыдущей цены. Сколько рублей будет стоить товар на девятый день после поступления в продажу?
Ре-ше-ние:
Как из-вест-но, в не-де-ле 7 дней. Зна-чит, 12 день вы-па-да-ет на вто-рую не-де-лю, когда цена сни-жа-ет-ся на 20%, таким об-ра-зом, товар будет сто-ить 80%. Имеем:
1000· 80:100=800
Ответ: 800.
В период распродажи магазин снижал цены дважды: в первый раз на 30%, во второй - на 50%. Сколько рублей стал стоить чайник после второго снижения цен, если до начала распродажи он стоил 700 р.?
Ре-ше-ние:
В пер-вый раз цена упала на 700 · 30:100 = 210 руб. Зна-чит, после пер-во-го по-ни-же-ния цен чай-ник стал сто-ить 700 − 210 = 490 руб. Во вто-рой раз цена упала на 490 · 45:100 = 220,5 руб. Зна-чит, после вто-ро-го по-ни-же-ния цен чай-ник стал сто-ить 490 - 220,5 = 269,5 руб.
Ответ: 269,5.
При оплате услуг через платежный терминал взимается комиссия 5%. Терминал принимает суммы кратные 10 рублям. Николай хочет положить на счёт своего мобильного телефона не меньше 320 рублей. Какую минимальную сумму он должен положить в приемное устройство данного терминала?
Ре-ше-ние:
С уче-том ко-мис-сии, Аня долж-на вне-сти в при-ем-ное устрой-ство сумму не менее 300 + 300 · 0,05 = 315 руб-лей. Зна-чит, ми-ни-маль-ная сумма, ко-то-рую долж-на по-ло-жить Аня в при-ем-ное устрой-ство дан-но-го тер-ми-на-ла — 320 руб-лей. Про-ве-рим, что этой суммы до-ста-точ-но: 5% от нее со-став-ля-ют 16 руб. (это ко-мис-сия), остав-ши-е-ся 304 рубля пой-дут на счет те-ле-фо-на.
Ответ: 320.
Мобильный телефон стоил 5000 рублей. Через некоторое время цену на эту модель снизили до 3000 рублей. На сколько процентов была снижена цена?
Ре-ше-ние:
Цену на те-ле-фон сни-зи-ли на 5000 − 3000 = 2000 руб-лей. Раз-де-лим 2000 на 5000:
Зна-чит, цену сни-зи-ли на 40%.
На покупку планшета взяли кредит 20000 р на 1 год под 16 % годовых. Вычислите, сколько денег необходимо вернуть банку, какова ежемесячная сумма выплат?
Решение:
20000· 16:100 = 3200 (руб.) - один год
20000 + 3200 = 23200 (руб.) - полная сумма с процентами
23200:12= 1933 (руб.) - ежемесячная сумма выплат
Ответ: 1933 рубля.
Пачка чая стоила 100 рублей. Сначала цену повысили на 10%, а затем снизили на 10% (от новой цены). Сколько теперь стоит пачка чая?
Так как цену повысили на 10%, значит нужно умножить первоначальную цену на 1,1 и при понижении на 10% нужно умножить на 0,9,
100·(1+0,1) ·(1-0,1) =99 руб.
Ответ: 99 рублей.
В сентябре 1 кг винограда стоил 60 рублей, в октябре виноград подорожал на 25%, а в ноябре еще на 20%. Сколько рублей стоил 1 кг винограда после подорожания в ноябре?
Ре-ше-ние:
В ок-тяб-ре ви-но-град по-до-ро-жал на 60 · 25:100 = 15 руб-лей и стал сто-ить 60 + 15 = 75 руб-лей. В но-яб-ре ви-но-град по-до-ро-жал на 75 · 20:100 = 15 руб-лей. Зна-чит, после по-до-ро-жа-ния в но-яб-ре 1 кг ви-но-гра-да стоил 75 + 15 = 90 руб-лей.
В школе 800 учеников, из них 30% — ученики начальной школы. Среди учеников средней и старшей школы 20% изучают немецкий язык. Сколько учеников в школе изучают немецкий язык, если в начальной школе немецкий язык не изучается?
Ре-ше-ние:
Уче-ни-ков на-чаль-ной школы 800 · 30:100 = 240, а уче-ни-ков сред-ней и стар-шей школы - 800 − 240 = 560. Зна-чит, не-мец-кий язык в школе изу-ча-ют 560 · 20:100 = 112 уче-ни-ков.
Задачи "на проценты" впервые появляются в жизни юных математиков в 5 классе и сопровождают их до выпускных экзаменов. Связанные с процентами задания есть в вариантах ЕГЭ (в частности, задание №17 профильного экзамена) и ОГЭ. Проценты неминуемо встретятся в курсах физики, химии, экономики. В конце концов, в повседневной жизни мы постоянно сталкиваемся с этим понятием (вспомните, например, ставки по кредитам или щедрые обещания 90%-ных скидок в магазинах).
В данной статье мы начнем с простейших определений и примеров, будем постепенно увеличивать уровень сложности и к 4-й части доберемся до достаточно трудных задач.
Как найти процент от числа
Удивительно, но многие выпускники не могут вразумительно объяснить, что такое процент . А ведь все очень просто:
Процент - это сотая часть числа.
Почему именно сотая? Да просто потому, что на 100 удобно делить и сотня - это не слишком много и не слишком мало (не очень строгое определение).
Чтобы найти 1% от числа, нужно просто разделить это число на 100.
Пример 1 . Найти 1% от 1200, 1% от 2, 1% от 98765.
1% от 1200 - это 12, т. к. 1200:100 = 12;
1% от 2 - это 0,02, т. к. 2:100 = 0,02;
1% от 98765 = 98765:100 = 987,65.
Задание 1 . Вычислите 1% от 450, 1% от 12000, 1% от 9.
Задание 2 . Вычислите 1% от 1% от 6700.
Теперь предположим, что нам необходимо найти не 1% от числа, а, скажем, 12%. Как это сделать? Можно, конечно, сначала найти один процент, а потом полученный результат умножить на 12. Но зачем выполнять два действия, если можно обойтись одним? Один процент - это одна сотая, а t процентов - это t сотых. Чтобы найти, например, 12 сотых от числа, нужно число умножить на 0,12. Получаем универсальное правило:
Чтобы найти t% от числа, нужно умножить это число на
t
100
.
t процентов от A
= A ⋅
t
100
Пример 2 . Найти 17% от 300, 86% от 20, 140% от 2, 0.1% от 4000.
17% от 300 - это 51, т. к. 300*0,17 = 51 (умножаем число на семнадцать сотых);
86% от 20 - это 17,2, т. к. 20*0,86 = 17,2 (умножаем на 86/100);
140% от 2 = 2*1,4 = 2,8 (1,4 - это просто 140/100);
0.1% от 4000 = 0.001*4000 = 4 (0.001 - это 0.1/100).
Задание 3 . Вычислите 14% от 1200, 57% от 50, 250% от 4, 0.02% от 1000000.
Пример 3 . Вычислите 18% от 80% от 1000. Правда ли, что это то же самое, что 98% от 1000?
Найдем сначала 80% от 1000: 1000*0,8 = 800.
От полученного числа ищем 18%: 800*0,18 = 144.
Найдем теперь 98% от 1000. Умножаем 1000 на 98/100 и получаем 980.
Как видим, результаты получились разными.
Задание 4 . Вычислите 120% от 40% от 350.
А если нам нужно вычислять длинную последовательность "процентов от процентов"? Скажем, 10% от 10% от 10% от 10% от 200. Можно, конечно, действовать последовательно и разбить задачу на 4 действия, но есть способ проще.
Пример 4 . Вычислите 20% от 30% от 40% от 10000.
Зачем выполнять несколько последовательных умножений, если все можно свести к одной строке:
0,2*0,3*0,4*10000 = 24.
Видите, как все просто! Кстати, никакие скобки в данном случае не нужны.
Задание 5 . Вычислите 50% от 50% от 40% от 2000.
Задание 6 . В первую неделю января выпало 40% месячной нормы снега (90 мм), причем 90% этого количества пришлось на среду, причем в первой половине этого дня выпало 70% осадков. Сколько мм снега выпало в первой половине дня в среду?
Итак, подведем некоторые итоги:
Потратьте пару минут, пройдите небольшой тест по теме "Проценты". В ответе указывайте целое число или десятичную дробь. В качестве разделителя десятичных разрядов всегда используйте запятую (например, 1,2, но не 1.2!) Успехов!
